Рассмотрим оптимизационные модели производства. При этом будем моделировать не само производство, как таковое, а задачу принятия решения относительно планирования производства. Поэтому будем предполагать выполненными следующие аксиомы:
1. любое производство начинается с этапа планирования;
2. принимаются только реалистичные планы;
3. принятые планы выполняются.
На основе этих положений задача фирмы как организации, производящей затраты производственных ресурсов для изготовления товаров, сводится к определению количества выпускаемой продукции и необходимых для этого затрат.
Фирма должна решить свою задачу наилучшим (т.е. оптимальным) образом. При этом оптимальность можно понимать двояко: либо как получение наибольшей прибыли (с учетом имеющихся возможностей фирмы относительно затрат ресурсов), либо как достижение необходимого (фиксированного) уровня выпуска с наименьшими затратами. Фирма может поставить перед собой только одну из этих целей.
В противном случае задача будет некорректной, т.е. нереализуемой. Действительно, нельзя осуществить наибольший выпуск при наименьших затратах. В теории многокритериальной оптимизации этот факт устанавливается строго.
Бизнес это математические модели
С точки зрения временного промежутка (горизонта планирования) можно различить задачи двух типов — задачу текущего производства (краткосрочная задача) и задачу перспективного развития (долгосрочная задача).
Краткосрочная задача ставится на один производственный цикл — от начала производства товара до момента выхода фирмы со своим товаром на рынок. Здесь решается задача рационального использования уже имеющихся в распоряжении фирмы ресурсов, производственных мощностей, сырья, расходов на заработную плату. Поэтому математические модели краткосрочной задачи фирмы представляют собой оптимизационные задачи с ограничениями.
Долгосрочная задача охватывает период, достаточный для принятия и реализации крупномасштабных решений: наращивания или сокращения основных фондов, изменения структуры производства, определения долгосрочных инвестиций, страховок и др. Эти затраты непосредственно не зависят от объема текущего выпуска. Поэтому математические модели долгосрочной задачи фирмы являются задачами безусловной оптимизации.
Для моделирования задач фирмы необходимо формализовать такие понятия, как затраты, выпуск, их цены, доход, издержки и производственные возможности фирмы.
Не умаляя общности, будем считать, что фирма производит один вид продукта, используя видов ресурсов. Эти величины, как и ранее, будем обозначать соответственно через y и . Предположим, что технология производства достаточно хорошо изучена, т.е. известна производственная функция
Поскольку постоянные издержки не связаны с выпуском, то при составлении краткосрочных моделей мы их учитывать не будем. Тогда общий результат производства (затраты-выпуск) можно оценить величиной
Если эта величина положительна, то пара приносит прибыль, в противном случае — убыток.
Любой бизнес — это математическая модель. Евгений Черняк. Миллиарды / Billions
С помощью полученных формул построим математические модели различных задач фирмы.
1. Долгосрочная задача. На долгосрочный период фирма может планировать любые затраты, поэтому модель задачи имеет вид:
Это есть задача безусловной максимизации прибыли. Здесь постоянные затраты не учтены, так как они не влияют на максимизацию функции P по переменным затратам . В векторной форме долгосрочная задача имеет вид:
где — вектор цен затрат.
2. Краткосрочная задача. Эта задача планируется с учетом наличных на данный период запасов ресурсов, поэтому ее модель строится на условную оптимизацию:
где — множество допустимых значений затрат k -го вида. Вводя обозначение множества допустимых наборов затрат, эту задачу можно написать в векторной форме
при ограничениях (3.5.2)
Здесь явный вид множества X может быть описан различными способами. Например, в виде
3. Задача многопродуктового производства. Предположим, что фирма выпускает не один, а несколько видов продуктов. Пусть для каждого -го вида продукта известны производственная функция и цена ; для каждого k -го вида ресурса известны функция , описывающая суммарные затраты этого ресурса для производства всех видов продуктов, и его наличное количество . В этом случае модели долгосрочной и краткосрочной задач соответственно имеют вид:
при ограничениях (3.5.3)
где — вектор цен выпускаемых товаров, — вектор-функция затрат, — вектор наличных запасов ресурсов.
4. Задача на минимизацию затрат. Во всех приведенных выше моделях производства ставится задача максимизации прибыли, т.е. целевая функция имеет смысл прибыли. Для постановки задачи на минимизацию затрат предположим, что фирма планирует выпуск продуктов в объемах , т.е. рассмотрим фиксированные объемы выпуска. В этом случае оптимизационная задача производства может быть поставлена следующим образом:
при ограничениях (3.5.4)
Желая перевыполнить план выпуска, ограничения-равенства можно заменить на ограничения-неравенства
5. Видоизменения постановок задач. В зависимости от целей и характера исследования производства, можно пользоваться различными модификациями приведенных выше моделей. Например, в задачах (3.5.1) и (3.5.2) по тем или иным техническим соображениям производственную функцию можно исключить из целевой функции, записывая их в виде
Задачу производства можно поставить в чисто финансовой форме. Предположим, что для приобретения необходимых ресурсов выделена фиксированная сумма . Тогда задачу максимизации дохода можно поставить в следующей форме:
Любое видоизменение моделей допустимо, если оно адекватно описывает реальную задачу. Оценивается не вид модели, а практическая польза от ее применения.
Очевидно, что во всех моделях производства максимизация и минимизация целевой функции осуществляется по переменным , т.е. фирма принимает решение только относительно объемов затрат. Поэтому решениями этих задач являются оптимальные значения векторов затрат. Выбор метода нахождения оптимального решения задач зависит прежде всего от линейности или нелинейности участвующих в их постановке функций и . Если эти функции нелинейны, то соответствующую задачу можно решить методом множителей Лагранжа или каким-либо приближенным методом. В случае линейности всех функций можно применить симплекс-метод.
Для примера рассмотрим задачу (3.5.3). Если в ней функции дифференцируемы в и среди них имеются нелинейные, то ее оптимальное решение можно найти с помощью функции Лагранжа
и необходимых условий оптимальности Куна-Таккера (2.3.9)-(2.3.11)
Предположим, что все функции в (3.5.3) линейные:
В этом случае целевая функция задачи (3.5.3) принимает вид:
где с ограничениями:
Следовательно, приходим к задаче линейного программирования
где A — технологическая матрица, элементы которой показывают расход ресурса вида i для производства единицы продукта вида k. Двойственная к ней задача:
имеет смысл минимизации затрат при фиксированном объеме выпуска.
Источник: infopedia.su
4.1. Назначение и математическая модель бизнес-плана
Бизнес ? это сфера множества инициатив предпринимателей, которые стремятся убедить инвесторов (обладателей денег) в том, что их идеи способны принести достаточный доход.
Все эти инициативы являются в различной степени рисковыми, то есть сохраняется и вероятность потери вложенного в дело капитала. Эта потеря может быть не столь значительной. Однако недостаточно продуманная стратегия реализации предпринимательской идеи может разорить как фирму, так и инвестора. Как преодолеть недоверие между предпринимателем и инвестором?
Решающим инструментом здесь является бизнес-планирование. Что же такое бизнес-план?
Бизнес-план ? это документ, который призван убедить потенциального инвестора в том, что прибыль от вкладываемых в конкретный предпринимательский проект денег будет, по крайней мере, не ниже ставки банковского процента, приемлемой для инвестора. Эффективная предпринимательская идея, будучи реализованной, приводит к тому, что и фирма, и инвестор получат достаточную ожидаемую прибыль. Общая модель и результаты бизнес-планирования показаны на рис.4.1.
Рис. 4.1 Элементы и результаты бизнес-планирования
Если через обозначить достаточную норму прибыли для инвестора, а через , достаточную норму прибыли для фирмы, то математически модель эффективного бизнес-плана выглядит так:
КИ + КФ = ОК, (4.1) ПИ + ПФ = ОП, (4.2) ПИ / КИ ? , (4.3) ПФ / КФ ? , (4.4)
где КИ ? капитал инвестора;
КФ ? капитал фирмы;
ОК ? общий капитал, предназначенный для осуществления бизнес-идеи (ОК= КИ + КФ);
ПИ ? прибыль инвестора;
ПФ ? прибыль фирмы;
ОП ? общая прибыль, подлежащая распределению между участниками бизнес-проекта (ОП = ПИ + ПФ);
? норма прибыли капитала инвестора, причем = ПИ/КИ;
? норма прибыли капитала фирмы, причем = ПФ/КФ.
Учитывая (4.1) и (4.2), можно записать:
где ? общая норма достаточной для фирмы и инвестора прибыли от реализации бизнес-идеи.
Из условий (4.1) ? (4.4) можно вывести уравнение для определения долей инвестора и фирмы в общей норме прибыли:
Отсюда доли инвестора dИОП и фирмы dФОП в общей норме прибыли вычисляются так:
dИОП = (NПИ · dКИ)/NОП (4.7) dФОП = (NПФ · dКФ)/NОП (4.8)
Обычно фирма сталкивается с ситуацией, когда имеется не одна, а много бизнес-идей.
Какая из них является оптимальной и приносит максимальную прибыль? Исходя из модели бизнес-планирования это та идея, для которой справедлива такая целевая функция:
Таким образом, из множества вариантов осуществления бизнес-идеи выбирается тот, который при данных общем капитале и достаточной норме прибыли для инвестора способен принести максимальную общую прибыль. Это означает, что существуют такие эффекты использования общего капитала, которые не подлежат распределению между инвестором и фирмой, а целиком принадлежат фирме.
Иначе говоря, фирма в ходе реализации бизнес-идеи совершенствует организацию управления, повышает эффективность снабжения и сбыта, нарабатывает «ноу-хау». Все эти дополнительные источники дохода обычно служат основой для вознаграждения инициаторов оригинальных бизнес-идей, стимулами творческого предпринимательства.
Во всем мире общепризнанно, что эффективный бизнес-план не только служит источником немалых предпринимательских доходов, но и: *
реализует интересы инвесторов через увеличение их доходов по акциям, облигациям, процентам; *
не наносит ущерба экологическим, социальным и политическим интересам граждан.
Источник: economy-ru.com
Просто о сложном: что такое математическое моделирование и почему нам больше не нужны эксперименты на людях
Математическое моделирование начали использовать в спорте и медицине еще в 50-х годах. В этой сфере активно работают математики, информатики и физики различных специализаций. Метод математического моделирования устроен по принципу конструктора «Лего», в котором вместо деталей — данные о состоянии здоровья человека и математические формулы, на основе которых врачи ставят диагноз и составляют план лечения. Используя данные о медицинских показателях, математики и инженеры создают гипотезу, которую затем проектируют и проверяют с помощью специального языка программирования.
Неудивительно, что интерес к математическому моделированию в медицине и спорте растет: в США с 1961 по 2006 год процент бюджетных денег, которые тратятся на медицину, возрос с 4% до 20%. В других странах люди тоже хотят жить долго и хорошо, а готовность властей финансировать науку и текущий уровень развития технологий растут с каждым годом. Поэтому вместо того, чтобы проводить медицинские эксперименты на людях, в качестве подопытных кроликов ученые используют математические модели.
Модель для сборки: инструкция
Для построения любой математической модели необходимы данные. Базовые знания о строении и функционировании организма человека можно найти в анатомических атласах и другой справочной литературе. Но поскольку организм каждого человека уникален, врачи наблюдают за каждым пациентом индивидуально: проводят МРТ, компьютерную томографию, измеряют пульс, давление.
Представим, что перед командой ученых (биологов, математиков, физиков, программистов) стоит задача — помочь в постановке диагноза и поиске метода лечения пациентов со стенозом. Первым делом мы, ученые, должны понять, что такое стеноз, и расспрашиваем об этом врачей.
Оказывается, стеноз — это возникновение бляшек на сосудах, которые создают разницу в давлении между участками сосуда. В результате сосуд может не выдержать такой нагрузки и порваться. Диагностируется заболевание двумя путями. Первый — качественный способ: нужно сделать снимок сосуда, найти бляшку и по ее виду сделать вывод.
Второй — количественный: через бедренную артерию в нужные участки сосуда вводятся датчики, которые измеряют разницу давлений. Результаты количественного анализа — более точные. Это значит, что можно не оперировать пациента без надобности, а осложнения после лечения будут минимальными. Минусы этого способа — в цене и высоких рисках для пациента.
Нужна дешевая и безопасная альтернатива, которая поможет поставить количественный диагноз и принять верное решение о лечении. Такой альтернативой может стать математическая модель процессов, происходящих в организме, связанных с развитием болезни.
http://news.nike.com/
В нашем случае нужно понять, по каким законам возникает разница в давлениях внутри сосудов, и записать эти законы в виде уравнений. Модели создаются под каждую проблему, болезнь или задачу. Для начала в уравнения (например, гидродинамики) вписывают величины, примерно одинаковые для всех пациентов — в науке они называются константами.
Помимо констант, существуют параметры — показатели, которые учитываются для каждого человека индивидуально: длина, ширина сосудов, частота пульса, вид шума в сосудах. После того как мы вписали в уравнения константы, снимаем данные с пациента и записываем их в уравнения. Так ученые связывают параметры и константы с помощью формул: теперь в готовое уравнение мы подставляем разные значения для разных пациентов, чтобы получить необходимый результат — показатель разницы давлений между участками сосуда. Лечение стеноза, в зависимости от степени тяжести заболевания, врачи проводят либо медикаментозно (когда разница в давлениях небольшая), либо с помощью хирургического вмешательства (для более серьезных случаев).
После того как модель запрограммирована, работа не заканчивается. Во-первых, измерить большую часть параметров, которые нужно внести в уравнения, скорее всего, не получится без огромных затрат и дорогостоящих операций. Например, для детального определения структуры бляшек, упругих свойств сосуда и законов, по которым он меняется со временем, потребуется колоссальное количество сил и средств. Поставить такую технологию на поток вряд ли удастся.
Во-вторых, снятые параметры могут измениться через определенное время. Эластичность сосудов сильно меняется в зависимости от гормонов, которые на данный момент присутствуют в крови. А чтобы предсказать, сколько каких гормонов содержится в кровяном русле в интересующий нас период, нужно замоделировать в буквальном смысле весь организм человека, так как гормональный фон зависит от огромного количества факторов.
Врачи не знают математику, а математики — биологию, однако без диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук
В-третьих, даже если мы сможем измерить все необходимые параметры и они не станут сильно меняться со временем, измерения, скорее всего, будут неточными. И чем больше параметров мы снимаем, тем активнее будет расти эта неточность. А поскольку в организме от небольшого изменения каждого параметра существенно меняются все остальные величины, такая неточность часто становится критичной. Например, даже несущественное количество введенного лекарства, растворяющего тромбы, может привести к передозировке, которая вызовет серьезное кровотечение.
Решаются эти проблемы путем упрощения модели: ученые по максимуму сокращают количество параметров и уравнений, стараются сделать их проще, или, как говорят математики, оптимизируют систему. Несмотря на технологическое несовершенство, метод математического моделирования уже работает и помогает людям. Благодаря математическому моделированию была создана известная модель токов в клетке Ходжкина — Хаксли, которая помогла описать, как распространяются электрохимические импульсы, передающие информацию в организме по нервным клеткам. Эта разработка считается одним из самых важных открытий неврологии XX века. За нее ученые получили Нобелевскую премию.
В помощь Усэйну Болту
Профессионалы рынка спортивных достижений шутят, что в 2015 году соревнования идут не между спортсменами, а между разработчиками программ тренировок. Чтобы исследовать живого спортсмена непосредственно во время тренировки, придется повесить на него кучу приборов: измерители пульса, давления, уровня сахара в крови — и еще, желательно, МРТ-аппарат.
В таком обмундировании достичь высоких показателей (или хотя бы просто сдвинуться с места) нереально. А вот с помощью математической модели можно рассчитать интересующие показатели на компьютере: ученые заранее снимают параметры со спортсмена в состоянии покоя и составляют уравнения, из которых затем можно извлечь нужные параметры в состоянии физической нагрузки. Моделировать можно самые разные процессы: например, дыхание в клетках мышц футболиста во время бега до образования тромбов. Модели могут быть одномерными или трехмерными, а также учитывать большое количество параметров — например, степень упругости сосудов при моделировании сосудистой сети.
Математически смоделированные стратегии для тренировок — уже рутина для спортивной индустрии. Показатели великого бегуна Усэйна Болта почти совпадают с графиком кривой оптимального темпа для бега на 100 метров в каждый момент времени. На соревнованиях по прыжкам с трамплина на лыжах высота конструкции выбирается с использованием математической модели тел спортсменов так, чтобы нагрузки не стали критичны для организма.
Математика + медицина
Главная трудность в развитии метода пока заключается в том, что значительное количество разработок так и остаются теорией. В повседневное клиническое использование вводится крайне малая часть таких проектов. Ученые видят будущее моделей в их адаптации под реальные условия. Теоретические расчеты нужны и важны для понимания процессов, которые происходят в организме, но не менее важно научиться использовать такие расчеты глобально. Сильно упростит задачу, если пациентам будет легко и понятно снимать показатели самостоятельно.
Ученым из разных областей придется все чаще работать на стыке наук и сотрудничать с инженерами и врачами. Чтобы эти идеи не оставались на страницах научных журналов, а реально помогали людям, математики должны начать взаимодействовать с врачами, которые ставят перед ними конкретные медицинские задачи. Такое взаимодействие (из-за особенностей образования и способа мышления) часто дается обеим сторонам непросто: врачи не знают математику, а математики — биологию, все они пользуются разной терминологией и методами. Однако без подобного диалога невозможна ни одна дисциплина на стыке наук.
Не пропустите следующую лекцию:
Источник: theoryandpractice.ru