Это может быть задача на кредиты и вклады. Или на нахождение наибольшего (наименьшего) значения какой-либо функции (прибыли, зарплат, времени работы). Мы разберем и те, и другие.
Начнем с задач о кредитах и вкладах. Прежде чем браться за реальные задания ЕГЭ из Банка заданий ФИПИ, подумаем – как вообще работает банк?
Доход банка образуется в виде разницы между процентом кредита и процентом вклада. Например, клиент банка положил на свой сберегательный счет 100 тысяч рублей под 10 % годовых – то есть открыл вклад. Через год он может получить в банке 110 тысяч рублей. Другому клиенту, наоборот, нужны 100 тысяч рублей.
Банк выдает ему кредит под 30 % годовых, и теперь этот клиент должен вернуть банку 130 тысяч рублей. Таким образом, прибыль банка составит 130 – 110 = 20 (тысяч рублей).
Конечно же, процентные ставки банка по кредиту выше, чем процентные ставки по вкладу.
Вспомним формулы из темы «Проценты». Без них задачи на кредиты и вклады не решить!
Сначала — несколько контрольных вопросов:
Деньги на БИЗНЕС от государства. ПОШАГОВО. 250 000 руб.
1. Что принимается за 100%?
2. Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
3. Величина y дважды увеличилась на р%. Как это записать?
И ответы на вопросы:
1. за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
2. если величину x увеличить на p процентов, получим ;
если величину x уменьшить на p процентов, получим
;
если величину x увеличить на p процентов, а затем уменьшить на q процентов, получим ;
3. если величину x дважды увеличить на p процентов, получим ;
4. если величину x дважды уменьшить на p процентов, получим .
Вот простая подготовительная задача.
Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Пусть банк начисляет p% в год.
У клиента А после начисления процентов через год сумма вклада станет равной . Соответственно, через два года эта сумма станет равной
Клиент В сделал вклад позже, чем клиент А, на год. У него сумма вклада через год станет равной .
Так как клиент А получил на 847 рублей больше клиента В, то
Вынесем 7700 за скобки:
Чтобы не получить квадратное уравнение с огромными коэффициентами, сократим обе части уравнения на 77.
Его корни и . Отрицательный корень нам не подходит, поэтому .
Сделав обратную замену, получим
Отсюда p = 10%.
Еще одна задача – на этот раз о кредите.
2. Костя оформил кредитную карту на 244 тысячи рублей под 25% годовых и расплачивался ею при каждой покупке. Через неделю деньги на карте кончились, и Костя обнаружил, что обязан погасить долг тремя равными ежегодными платежами. Сколько собственных денег Костя выплатит банку сверх суммы, взятой в кредит?
Обозначим сумму кредита , где рублей.
Проценты начисляются ежегодно, и после первого начисления процентов сумма долга равна
.
Переменная — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов;
, где – процентная ставка банка.
Костя обязан ежегодно выплачивать банку рублей. После первой выплаты сумма долга равна рублей.
Банк снова начисляет р процентов, и сумма долга становится равна
рублей, где . Костя снова перечисляет в банк рублей.
Теперь сумма долга равна
рублей.
Банк в третий раз начисляет проценты, и сумма долга равна
рублей.
И снова Костя переводит в банк рублей. Теперь его долг равен нулю.
Выразим Х (ежегодный платеж Кости) из этого уравнения. Раскрыв скобки, получим:
;
.Осталось подставить числовые данные.
Будем вести расчеты в тысячах рублей, а значение возьмем равным . Это удобнее для расчетов, чем .
Всего Костя выплатит банку тысяч рублей, что на 375 – 244 = 131 тысячу рублей больше суммы, взятой в кредит.
Вот задача на вклады, где надо составить, упростить и решить систему уравнений. Постарайтесь справиться самостоятельно.
3. В начале года некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у. е. (условных единиц), к концу следующего — 749 у. е. Если бы первоначально суммы было вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
Пусть первоначальная сумма равна – чтобы удобнее было записать и этой суммы.
Пусть банк A начисляет p процентов годовых. Тогда сумма, внесенная на счет в банке А, за год увеличивается в раз, а за 2 года в раз.
Банк Б начисляет q процентов годовых. За год сумма, внесенная на счет в банке Б, увеличивается в раз, а за 2 года в раз.
Надо найти . Составим систему уравнений:
Подставим значения m и k в третье уравнение:
Пора переходить к реальным задачам ЕГЭ о кредитах (задачи на вклады решаются похожим способом).
Запомним – есть всего две схемы решения задач на кредиты.
Первая – когда выплаты производятся равными платежами. Или есть информация о платежах.
Вторая – когда сумма долга уменьшается равномерно. Или есть информация о том, как уменьшается сумма долга.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023
Источник: ege-study.ru
Проценты, процентные деньги и процентные ставки. Функции сложного процента. Валютные расчеты и проценты
Предприниматель получил на 1,5 года кредит в размере 40 тыс. руб с условием возврата 50 тыс. руб. определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт фактор за 1,5 года Чему равен индекс роста суммы кредита?
Решение. t=1,5, PV=40 тыс. руб, FV=50 тыс. руб.
Определяем велчину процентной ставки за 1,5 года:
Определяем величину учетной ставки:
Определяем дисконт – фактор:
Определение d и ν другим способом:
Индекс роста суммы кредита показывает во сколько раз возвращаемая сумма больше выданной:
Задача 17. Известно, что капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1,4 раза, а за 2 год вся сумма увеличилась в 1,2 раза. Определите индекс роста вклада и процентную ставку за 2 года. На сколько процентов увеличился капитал за это время?
Решение. Индексы роста капитала из условия задчи равны B1=1,4, В2=1,2
Индекс роста капитала за 2 года равен В=В1*В2=1,4*1,2=1,68
Процентная ставка за 2 года составит r=В-1=1,68-1=0,68
Т.о. капитал за 2 года увеличился на 68%.
Задача 18. Имеется два варианта вложения капитала на 3 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий од – еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года. Какой вариант выгоднее?
Для первого варианта индексы роста капитала за каждый год равны: В1=1,15, В2=1,35, В3=1,1.
Индекс роста за три года составит: В=1,15*1,35*1.1=1,708
Для второго варианта индексы роста капитала за календарный год равны В1=В2=В3=1,2.
Индекс роста капитала за 3 года составит В=1,2*1,2*1,2=1,728.
Т.о. согласно первому варианту за три года капитал увеличится на 70,8%.
Согласно второму варианту – на 72,8 %.
Т.о. второй вариант вложения капитала выгоднее.
Задача 19. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.
Решение. Обозначим через Р стоимость покупок. Т.к. 45% стоимости покупок оплачивается сразу, то на один год кредит предоставляется в размере PV=0,55Р. Величина дохода за предоставленный кредит составит FV-PV=0,1P.
Задача 20. Вы поместили в банк вклад в 10 тыс. руб. под простую процентную ставку 26% годовых. Какая сумма будет на Вашем счете через три года? Какова будет величина начисленных процентов? Если банк осуществляет регулярные выплаты начисленных процентов, то какую сумму Вы будете получать: а) каждый год, б) каждый квартал?
Решение. PV=10 тыс. руб, n=3 года, r=0,26.
Наращенная сумма через три года, если не происходит выплаты простых процентов составит
FV=PV(1+nr)=10(1+3*0,26)=17,8 тыс. руб.
Величина начисленных процентов I составит: I=FV-PV=17,8-10=7,8 тыс. руб.
Величина начисленных процентов, выплачиваемых ежегодно составит (n=1)
I=PV*n*r=10*1*0,26=2,6 тыс. руб.
Величина начисленных процентов, выплачиваемых ежеквартально составит:
I=PV*n*r=10*0,25*0,26=0,65 тыс. руб.
Задача 21. На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 28% годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза?
Решение. Множитель наращения (1+n*r).
Искомый срок определяем из равенства множителя наращения величине 1,5.
Т.о. если в году 365 дней, то необходимый срок составит: 365*1,786=651,9=1 год 287 дней.
Задача 22. Предпринимателю 14 февраля была предоставлена ссуда в размере 20 тыс. руб. с погашением 14 июля того же года под процентную ставку 30% годовых. Рассчитайте различными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год високосный.
Решение. Точное число дней ссуды находим по таблице t=14 июля – 14 февраля = 195-45=150дней.
Приближенное число дней ссуды: 16 (февраль)+30*4(март, апрель, май, июнь)+14(июль)=150 дней.
1. Точные проценты и точное число дней ссуды (Т=365, t=150)
2. Обыкновенные проценты и точное число дней ссуды (Т=360, t=150)
3. Обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды (Т=360
Похожие материалы
- Исследование функций. Приложение производной
- Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда
- Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации
Источник: vunivere.ru
Предприниматель получил ссуду в банке в размере 2 млн. руб. сроком на 5 лет на условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22% процента годовых, на следующие 3 года ставка равна 24% годовых. Найдите доход банка, если сложные проценты начисляются ежегодно.
F(5) = 2000(1 + 0,22) 2 * (1 + 0,24) 3 = 2000 * 1,488 * 1,907 = 5675,64 тыс. руб.
D = 5675,64 — 2000 = 3675,64 тыс. руб.
Доход банка составит 3,7 млн. руб. при начислении сложных процентов ежегодно.
Определите, какую сумму необходимо поместить в банк, начисляющий ежеквартально сложные проценты по годовой ставке 36% годовых, чтобы через 9 месяцев можно было снять 100 тыс. руб. и еще 20 тыс. руб. через 18 месяцев после этого.
находим при начислении сложных процентов ежеквартально:
P1 = 100/(1 + 0,36/4) 4*9/12 = 100/1,295 = 77,218 тыс. руб.
P2 = 20/(1 + 0,36/4) 4*18/12 = 20/1,677 = 11,925 тыс. руб.
Следовательно, сумма необходимая для взноса в банк составит:
P = P1 + P2 = 77,218 + 11,925 = 89,144 тыс. руб.
Источник: vuzlit.com
