Комбинации с окружностью Комбинации с окружностью Средняя линия Средняя линия Тригонометрия в геометрии Тригонометрия в геометрии Прямоугольник Прямоугольник Площади четырёхугольников Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Медиана Окружнoсть и круг Окружнoсть и круг Теорема синусов и теорема косинусов Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Биссектриса Высота Высота Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Трапеция Трапеция Параллелограммы Параллелограммы Равенство фигур Равенство фигур Симметрия Симметрия Метод координат на плоскости Метод координат на плоскости Движения Движения Многоугольники Многоугольники Теорема Пифагора Теорема Пифагора Ромб Ромб Прямые и углы на плоскости Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Элементы планиметрии Виды треугольников Виды треугольников Квадрат Квадрат Треугольники. Площади Треугольники. Площади Подобие фигур Подобие фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Векторы Серединный перпендикуляр Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Отношения в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Площадь круга и сектора круга Площадь круга и сектора круга
Урок 1.Поиск решения, оптимизация, оптимальный план производства
Стереометрия
Угол между прямой и плоскостью Угол между прямой и плоскостью Двугранный угол Двугранный угол Пирамиды Пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Движения в пространстве Призмы Призмы Сечения в телах вращения Сечения в телах вращения Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Векторы в пространстве Угол между плоскостями Угол между плоскостями
Анализ функций
Первообразная Первообразная Взаимное расположение графиков линейной функции Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Графики тригонометрических функций Экстремумы Экстремумы Координатная плоскость Координатная плоскость Функции Функции Правила дифференцирования Правила дифференцирования Линейная функция Линейная функция Преобразование графиков функции Преобразование графиков функции Интеграл Интеграл Функция обратной пропорциональности Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Квадратичная функция Смысл производной Смысл производной Функция квадратного корня Функция квадратного корня Кусочная функция Кусочная функция Графическое применение производной Графическое применение производной Свойства функций Свойства функций
Введение в управление бизнес-процессами
Уравнения с модулем Уравнения с модулем Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения в целых числах Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Квадратные уравнения Методы решения уравнений Методы решения уравнений Дробно-рациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Однородные уравнения Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Показательные уравнения Линейные уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью тригонометрического круга
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Формулы сокращённого умножения Многочлены Многочлены Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Иррациональные выражения Одночлены Одночлены Разложение на множители. Группировка Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Тригонометрический круг Свойства степеней Свойства степеней Степени Степени Показательные выражения и свойства показательной функции Показательные выражения и свойства показательной функции
Источник: maximumtest.ru
С чего начать оптимизацию бизнес-процессов
Когда стоит выбор: уйти с рынка или заняться оптимизацией внутренних бизнес-процессов – компании чаще выбирают второй вариант. Андрей Коптелов составил план – что именно надо делать и какие нюансы учитывать для повышения операционной эффективности.
Долгое время российские компании могли себе позволить вольготное существование, конкуренция была минимальная, рынки росли, и многие менеджеры строили компании, опираясь скорее на модели интенсивного развития, чем на повышение операционной эффективности. Падают продажи – давайте добавим ресурсов в подразделения продаж, усилим рекламный бюджет – и все будет хорошо, оборот будет расти.
Однако времена изменились и теперь уже сложно решать возникающие в компании проблемы простым накачиванием финансовых и трудовых ресурсов. Многим менеджерам приходится спуститься с небес стратегического планирования на землю и обратить внимание на качество производимой продукции и оказываемых услуг, на процессы создания новых услуг, на существующие бизнес-процессы и начать непрерывную оптимизацию или даже реинжиниринг деятельности.
Часто меня спрашивают, как убедить менеджмент нашей компании в том, что необходимо оптимизировать существующие бизнес-процессы? Ответ – простой, если менеджеры и владельцы компании, находящейся на конкурентном рынке, не хотят повышать операционную эффективность, конкуренция заставит их заниматься оптимизацией внутренних бизнес-процессов, либо компания будет вынуждена уйти с рынка. На практике можно заметить, что как только в отрасли усиливается конкуренция, компании предпочитают первый вариант.
Банковский сектор, телекоммуникационные компании, розничная и оптовая торговля, туризм, страхование, авторынок, обучение, производство – в этих отраслях сейчас многие из игроков стали совершенствовать свои управленческие модели с целью сократить затраты на текущие бизнес-процессы, повысить качество результатов или уменьшить время ожидания ответа клиентом. Есть примеры, когда перед менеджментом в банковском секторе ставятся задачи сократить на треть все операционные затраты за три года, и это не предел.
Кто-то по-привычке сокращает персонал на 5-10% и надеется, что остальное образуется само собой. На первое время данное решение может помочь. Однако нужно смотреть глубже, нужно начинать наводить в компании порядок, проводя анализ существующих бизнес-процессов, приоритезацию проблем, считать стоимость используемых ресурсов, закреплять лучшие практики исполнения бизнес-процессов в регламентах и информационных системах.
Существует множество различных управленческих инструментов, которые в целом можно охарактеризовать, как наведение порядка, обнаружение операций в процессах, без которых можно обойтись, и, конечно, автоматизация максимального числа операций и даже перевод большинства каналов взаимодействия с клиентом в online. Компании на туристическом рынке, управления финансами, высшего и дополнительного образования, телекоммуникаций, страхования активно уходят в Сеть для кардинального сокращения затрат – еще один тренд.
Чтобы начать оптимизацию процессов, необходимо вывести из зоны комфорта менеджмент компании, и тут главное – это заинтересованность высшего менеджмента и поддержка акционера. Наиболее простым решением в данной области является организация регулярного комитета по оптимизации и трансформации бизнес-процессов, именно этот орган, возглавляемый генеральным директором, даст старт работам по трансформации компании.
Очень часто в качестве исполнителя решений комитета в компании создается процессный офис, который берет на себя задачи по оптимизации бизнес-процессов. Например, решением комитета могут быть выбраны несколько ключевых бизнес-процессов, в которых необходимо сократить затраты на 30%, ответственным за данный проект назначается кто-то из заместителей генерального директора, а сотрудники процессного офиса являются рабочими руками, силой которых процессы будут оптимизированы.
Очень важна взаимосвязь процессных офисов с другими подразделениями. В первую очередь необходима поддержка IT-специалистов, ведь изменения в бизнес-процессах, как правило, требуют изменений в информационных системах. Однако на практике от IT-специалистов часто можно услышать, что они очень заняты, и в ближайшие месяцы не освободятся от решения срочных задач. Именно поэтому при оптимизации процессов, в первую очередь, необходимо выделять те мероприятия, которые можно сделать быстрее с минимальными затратами ресурсов, так называемые Quick Win – это важный шаг.
Если начинать оптимизацию, то в первую очередь необходимо определить перечень процессов, далее – закрепить ответственных среди заместителей генерального директора. Возможно, за оптимизацию каких-то процессов возьмется и генеральный директор. Далее закрепить проектные группы с участием специалистов процессного офиса и составить планы проектов оптимизации процессов, где детально расшифровать, кто и что должен сделать в течение означенного времени.
Первым шагом является описание выбранного бизнес-процесса. На этом шаге нельзя долго задерживаться, нужно в общем виде описать процесс, существующие проблемы, текущие и целевые показатели, после чего начинать его анализ и генерацию предложения по оптимизации. Главное – смотреть не только внутрь процесса, но и наружу, анализируя предпочтения потребителей, способы организации процессов в конкурирующих компаниях, выбирая те предложения, которые возможно внедрить в вашем бизнесе.
Часто все предложения группируются в три раздела, первые должны быть внедрены на горизонте от одного месяца до трех месяцев, второй раздел требует серьезной трансформации процесса и требует от трех месяцев до полугода, ну, а третий раздел содержит перечень мероприятий, длительность внедрения которых может потребовать более полугода.
Можно поддержать процесс генерации оптимизационных предложений активностью рядовых участников бизнес-процесса, создав в компании «стену плача» или «банк идей». Этот инструмент позволяет собрать все предложения по процессу от исполнителей, и, сгруппировав их в зависимости от возможного экономического эффекта, включить в план оптимизации процессов. И хотя из тысячи предложений может быть только 10 стоящих, именно они, возможно, станут ключевыми для оптимизации процесса или даже нахождения нового рынка.
Дорогу осилит идущий, и если не предпринимать усилий, то с большой вероятностью компания будет терять операционную эффективность. Необходимо регулярно оптимизировать существующие процессы, добиваясь, чтобы компания была в «хорошей форме».
Как получить полный бесплатный доступ к публикации?
- Авторизоваться или зарегистрироваться на сайте
Источник: www.e-xecutive.ru
Экономические задачи на оптимизацию и методы их решения
Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи.
Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач.
Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности. Экстремальные задачи помогают школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций. Неоценимую важность постановки экстремальных задач в школьном курсе математики я вижу также в воспитании исследовательской культуры учащихся. Ведь все решения таких задач предлагаются на уровне исследования математической модели и на уровне исследования реальной ситуации с использованием оптимизационных средств.
В данной работе ученик рассмотрел такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики: с помощью линейной функции, с помощью методов перебора и логических рассуждений, с помощью составления уравнения. Тема доклада раскрыта с достаточной полнотой с учетом базовых теоретических знаний по математике ученика 7 класса. Работа интересна по содержанию, методам исследования и заслуживает внимания.
Учитель высшей категории: Конева Г.М.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Министерство образования и науки РБ
Научно-практическая конференция «Обыкновенное чудо»
Экономические задачи на оптимизацию
и методы их решения
ученик 7 класса.
Конева Галина Михайловна,
«Отличник просвещения РФ».
на работу ученика 7 класса Цыденжапова Даши по теме
« Экономические задачи на оптимизацию и методы их решения»
Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи . Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими.
Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности.
Экстремальные задачи помогают школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций. Неоценимую важность постановки экстремальных задач в школьном курсе математики я вижу также в воспитании исследовательской культуры учащихся . Ведь все решения таких задач предлагаются на уровне исследования математической модели и на уровне исследования реальной ситуации с использованием оптимизационных средств.
В данной работе ученик рассмотрел такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики: с помощью линейной функции, с помощью методов перебора и логических рассуждений, с помощью составления уравнения. Тема доклада раскрыта с достаточной полнотой с учетом базовых теоретических знаний по математике ученика 7 класса. Работа интересна по содержанию, методам исследования и заслуживает внимания.
Учитель высшей категории: Конева Г.М.
II. Экономические задачи и их различные способы решения
IV. Список литературы
П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей.
Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.
Итак, большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Это и определило актуальность выбора темы моего доклада. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию.
Актуальность темы — эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. С помощью таких задач можно ответить на вопрос: как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.
Гипотеза исследования — общего способа решения экономических задач быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать эти задачи.
Цели исследовательской работы –
— изучить разнообразные способы и методы решения экономических задач
-исследовать вопросы применения этих задач в жизни человека
— повысить уровень математической культуры, прививая себе навыки самостоятельной исследовательской работы в математике
-подготовка к итоговой аттестации ОГЭ и ГИА
Я изучил и исследовал такие экстремальные задачи, которые решаются с помощью исследования линейной функции, с помощью решения уравнения. Для решения таких экстремальных задач я применил следующие методы:
1. Метод опорной функции
3. Метод перебора и логики
II. Экономические задачи на оптимизацию и различные способы их решения
1 . Задача 1. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
1 способ – с помощью составления опорной линейной функции
Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме «Линейная функция». Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линейной функции у = кх + в , где к и в – постоянные. Если эту функцию рассматривать на отрезке [ ; ], то она будет иметь на нём наибольшее и наименьшее значение. При к 0 наименьшее значение у принимает в точке х = , а наибольшее – в точке х = , при к 0 функция у в точке х = принимает наибольшее значение, а в точке х = — наименьшее. Решим задачу.
Пусть х рабочих в 1 шахте добывают алюминий ежедневно, тогда (100-х) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (5х) кг, количество добытого никеля – 15(100-х) кг.
Пусть у рабочих во 2 шахте добывают алюминий ежедневно, (300-у) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (15у) кг, количество добытого никеля – 5(300-у) кг.
Всего количество добытого алюминия: (5х+15у);
количество добытого никеля: 15(100-х)+ 5(300-у)=1500-15х+1500-5у=3000-15х-5у.
Функция сплава: F(x) = (5х+15у) + (3000-15х-5у); F(x) = -10х+10у + 3000;
Учтем условие, при котором производится сплав алюминия и никеля: 2 кг алюминия и 1 кг никеля. Тогда 5х+15у=2(3000-15х-5у). Отсюда у = -1,4х+600. Поставим это выражение в функцию сплава: F(x) = -10х+10(-1,4х+600) + 3000;
F(x) = -24х +5400. Эта линейная функция является убывающей. Наибольшее значение она принимает при х=0. Значит, F(100)=5400.
2 способ – с помощью логических рассуждений и составления уравнения
Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то для наибольшей выгоды логично допустить, чтобы все рабочие в этой шахте добывали никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг.
Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Рассуждаем дальше. Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля с учетом пропорции сплава.
Пусть х рабочих 2 шахты добывают алюминий, тогда (300-х) рабочих добывают никель. Составим уравнение:
5 ∙3∙ х =2∙(5∙ (300-х) + 1500);
Найдем у: у=300-240=60.Значит, 240 рабочих должны добывать алюминий, 60 рабочих добывать никель. Тогда алюминия будет добыто 240∙ 5∙3 = 3600 (кг), никеля 1500 + 60∙5=1800(кг). Всего 3600+1800=5400 (кг).
3 способ – методом перебора
Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то пусть все рабочие добывают никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Что делать?
Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля. Применим метод перебора.
Допустим, что 10 рабочих 2 шахты добывают никель, а 290 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 290∙5∙3= 4350 (кг), а никеля – 1500 + 10∙5= 1550 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо увеличить количество рабочих, добывающих никель.
Допустим, что 20 рабочих 2 шахты добывают никель, а 280 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 280∙5∙3= 4200 (кг), а никеля – 1500 + 20∙5= 1600 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель.
Допустим, что 40 рабочих 2 шахты добывают никель, а 260 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 260∙5∙3= 3900 (кг), а никеля – 1500 + 40∙5= 1700 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель.
Допустим, что 60 рабочих 2 шахты добывают никель, а 240 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 240∙5∙3= 3600 (кг), а никеля – 1500 + 60∙5= 1800 (кг). Замечаем, что данные удовлетворяют пропорции 1: 2, то есть на 1 часть никеля приходится 2 части алюминия:
1800: 3600. Итак, всего будет добыто 3600+1800=5400 (кг) алюминия и никеля. А количество изделий из сплава тогда будет равно 1800 штук. Ответ: 5400 кг
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет.
Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?
1 способ – с помощью логики и арифметических действий
1)Найдем стоимость 1 номера стандартного: 2000_21=95 (рублей)
2)Найдем стоимость 1 номера «люкс»: 4500: 49 =91 (рублей)
Вывод: Так как стоимость 1 стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс». Начнем перебор количества номеров «люкс» с наименьшей цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0. Тогда число 1099 не делится нацело на 21. Далее. Допустим, что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050 ;
1050: 21 = 50 (номеров стандартных). Значит, на площади 1050 можно разместить 50 стандартных номеров. Тогда в сутки отель может заработать:
50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (руб).
Ответ: 104500 рублей.
2 способ – с помощью составления опорной линейной функции
Пусть х – количество стандартных номеров, у- количество номеров «люкс». Они занимают площадь 21х+49у. Составим равенство: 21х+49у = 1099. Выразим из этого равенства у = .
Составим функцию заработанных денег: S(x,y)=2000∙x + 4500∙y. Далее подставим в эту функцию выражение для у. Получим S(x) =71 х + 4500∙22 . По условию х и у –натуральные числа. S(x,y) принимает наибольшее значение при наименьшем у и наибольшем значении х, то есть при х=50 и у=1. Значит,
S(50,1) = 2000∙50 + 4500∙ 1=104500. Ответ: 104500 рублей
Рассмотрим еще одну из задач, решение которой сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения линейной функции одной переменной на некотором отрезке и показывает применение линейной функции в практике.
Задача 3 . Расстояние между двумя фермами А и В по шоссейной дороге 60 км. На ферме А надаивают 200 т молока в сутки, на ферме В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке молока, чтобы для его перевозки количество тонно-километров было наименьшим?
Решение : Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км.
- Предположим, что завод построили на середине АВ, то есть завод будет находиться от пункта А на расстоянии 30 км. Найдем суммарное количество тонно-километров:
200т ∙30км + 100т ∙30 км= 9000т ∕ км
- Предположим, что завод построили на расстоянии 20 км от пункта А. Найдем суммарное количество тонно-километров:
200т ∙20км + 100т ∙40 км= 8000т ∕ км
- Предположим теперь, что завод построили на расстоянии 10 км от пункта А. Найдем суммарное количество тонно-километров:
200т ∙10км + 100т ∙50 км= 7000т ∕ км
Делаем предварительный вывод о том, что, чем ближе завод находиться к ферме А, тем меньше суммарное количество тонно-километров.
Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до фермы А через х: АС =х, ВС =60 – х. Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000,
которая определена на отрезке [0; 60].
Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок. Исследуя функцию
у = 100х + 6000 на отрезке [0; 60], получим: = 6000.
Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0,
Вывод: Завод надо строить возле фермы А.
Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод по переработке молока, если бы:
а) на ферме А надаивали 100 т, а на ферме В – 200 т молока;
б) на ферме А – 200 т, а на ферме В – 190 т;
в) на ферме А и на ферме В – по 200 т молока;
Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на отрезке [0; 60] минимум функции:
а) у = 100х + 200(60 – х) = — 100х + 12000;
б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;
в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.
Из всего этого можно сделать такой вывод: если на ферме А добывается молока больше, чем на ферме В, то завод надо строить возле фермы А; если же количество молока на этих фермах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между фермами А и В.
Рассмотрим задачу на исследование линейного неоднородного уравнения в целых числах и решим ее методом перебора.
Задача 4. На дачном участке нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?
Решение: Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х , а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное уравнение: 7х + 5у = 167, которое нужно решить в целых числах. Выразив, например, переменную у через переменную х , получим:
Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у , которые удовлетворяют уравнению
Если 2х – 2 =0, то х = 1, у =32.
Если 2х – 2 =5, то х не является целым числом.
Если 2х – 2 =10, то х =6, у = 25.
Если 2х – 2 =15, то х не является целым числом.
Если 2х – 2 =20, то х = 11, у = 18.
Если 2х – 2 =25, то х не является целым числом.
Если 2х – 2 =30, то х = 16, у = 11.
Если 2х – 2 =35, то х не является целым числом.
Если 2х – 2 =40, то х = 21, у = 4.
Если 2х – 2 =45, то х = 23,5 , то есть не является целым числом.
Если 2х – 2 =50, то х = 26 и 7 ∙26 = 182 >167.
Итак, получили пары решений: (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21 , у = 4.
Вывод: Надо взять 21 трубу длиной по 7 метров и 4 трубы длиной по 5 метров.
Задача 5. Известно, что 1кг апельсинов содержит 150мг витамина С, а 1кг яблок —
75 мг витамина «С». Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина «С», не менее 0,25кг апельсинов и не менее 0,25кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 60р., а 1кг яблок– 40р.?
Занесем данные в таблицу:
Источник: nsportal.ru
