Простые и сложные проценты
Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала (процентная ставка называется учётной).
Простые проценты
- точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Обозначается как 365/365 или АТС/АТС .
- обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Обозначается как 365/360 или АТС/360 .
- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Обозначается как 360/360 .
По схеме 360 количество дней к году принимается равным 360 (в каждом месяце по 30 дней).
Пример . Определить приближённое число дней между 12.02.2019 и 27.08.2020.
Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближённое число дней рассчитывается следующим образом:
n = 360*(y2-y1)+30*(m2-m1)+(d2-d1)
где y — номер года, m — номер месяца в году, d — номер дня в месяце.
n = 360*(2020-2019)+30*(8-2)+(27-12) = 555 дней
Как решать задачи с процентами #математика #проценты #задачи #репетитор #репетиторматематика
Наращение основной суммы: S = P(1+i*n)
где P — исходная сумма, i — проценты, n — количество лет. Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет: S=P· ( 1+ t T ·i )
где t — срок в днях, T — временная база ( 365 или 360 )
Примеры задач на простые проценты
- Ссуда в размере P = 1 млн.руб. выдана d1 = 20.01 до d2 = 05.10 включительно под i = 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчёта срока ссуды.
Решить аналогичную
Начальная дата: 20.01, конечная дата: 05.10, количество дней между датами: 258
Январь, 11 дней: с 21.01 по 31.01
Февраль, 28 дней: с 01.02 по 28.02
Март, 31 день: с 01.03 по 31.03
Апрель, 30 дней: с 01.04 по 30.04
Май, 31 день: с 01.05 по 31.05
Июнь, 30 дней: с 01.06 по 30.06
Июль, 31 день: с 01.07 по 31.07
Август, 31 день: с 01.08 по 31.08
Сентябрь, 30 дней: с 01.09 по 30.09
Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
Итого: 11 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 5 = 258
S = P · ( 1 + t T · i )
1) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
S = 1 000 000 · ( 1 + 258 365 · 0.18 ) =1 127 232.88 руб.
2) Обыкновенные проценты с точным числом дней (365/360)
S = 1 000 000 · ( 1 + 258 360 · 0.18 ) =1 129 000 руб.
3) Обыкновенные проценты с приближённым числом дней (360/360)
Количество дней между датами: 255
Январь, 10 дней: с 21.01 по 30.01
Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь по 30 дней
Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
Итого: 10 + 30*8 + 5 = 255
S = 1 000 000 · ( 1 + 255 360 · 0.18 ) =1 127 500 руб. - Через d = 180 дней после подписания договора должник уплатит S = 310 тыс.руб. Кредит выдан под i = 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
Решить аналогичную
P = S ( 1 + t T · i )
Находим современную стоимость P = 310 000 ( 1 + 180 365 · 0.16 ) = 287 328.59 руб.
Задача на проценты
Сложные проценты
Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить ) и заполните требуемые поля.
Сложная процентная ставка наращения — это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:
S=P·(1+i) n
Если в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц ( m=12 ), квартал ( m=4 ) или другой период, то наращенная сумма определяется по формуле:
S = P · ( 1 + i m ) m · n
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом:
S = P·(1+i) [n] ·(1+·i)
где [n] — целая часть числа; — дробная часть числа n .
Современная стоимость Р величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле:
P = S ( 1 + i ) n
Примеры задач на сложные проценты
- Какой величины достигнет долг, равный P = 1 млн.руб., через n = 5 лет при росте по сложной ставке i = 15,5% годовых, если проценты начисляются раз в год, ежемесячно, поквартально и два раза в год?
Решить аналогичную
1) Сложные проценты начисляются раз в год: S = 1 000 000·(1+0.155) 5 = 2 055 464,22 руб
2) Сложные проценты начисляются два раза в год:
S = 1 000 000 · ( 1 + 0,155 2 ) 2 · 5 = 2 109 467,26 руб.
3) Сложные проценты начисляются 4 раза в год (поквартально):
S = 1 000 000 · ( 1 + 0,155 4 ) 4 · 5 = 2 139 049,01 руб.
4) Сложные проценты начисляются ежемесячно (12 раз в год):
S = 1 000 000 · ( 1 + 0,155 12 ) 12 · 5 = 2 159 847,20 руб. - Через n = 5 лет предприятию будет выплачена сумма S = 1 млн.руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов i = 10% годовых.
Решить аналогичную
P = S ( 1 + i ) n
P = 1 000 000 ( 1 + 0,1 ) 5 = 620 921,32 руб.
Если проценты начислялись ежеквартально.
P = S ( 1 + i m ) m · n
P = 1 000 000 ( 1 + 0,1 4 ) 4 · 5 = 610 270,94 руб. - Определить современную стоимость S = 20 тыс.руб., которые должны быть выплачены через четыре года ( n = 4). В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по i = 8 %годовых: а)ежегодно; б)ежеквартально.
Решить аналогичную
P = S ( 1 + i ) n
P = 20 000 ( 1 + 0,08 ) 4 = 14 568,92 руб.
Если проценты начислялись ежеквартально.
P = S ( 1 + i m ) m · n
P = 20 000 ( 1 + 0,08 4 ) 4 · 4 = 14 570 руб. - За взятые в долг деньги под сложную процентную ставку i=35% годовых должник обязан уплатить кредитору 30 тыс. руб. 1 июля 1997 г . Какую сумму необходимо уплатить должнику, если он вернет долг: а) 1 января 1997 г. ; б) 1 января 1998 г. ; в) 1 июля 1999 г. ?
Количество дней в 1997 году : T=365 .
а) 1 января 1997 г. ;
Эта дата ранее 1 июля 1997 г. , поэтому речь идет о поиске исходной суммы P ( S=30000 ). Количество дней между 1 января 1997 г. и 1 июля 1997 г. составляет d=181 дн..
б) 1 января 1998 г. ;
Эта дата позже 1 июля 1997 г. , поэтому находим наращенную сумму S ( P=30000 ). d1=01.07.1997 и d2=01.01.1998 .
в) 1 июля 1999 г.
Количество лет между 1 июля 1997 г. и 1 июля 1999 г. составляет n=2 года.
S=P·(1+i) n =30000·(1+0.35) 2 = 54 675 руб.
Список источников
- Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
- Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. — 5-е перераб. и доп. — М.: КНОРУС, 2010. — 144 с.
Источник: www.semestr.online
Задачи по простым и сложным процентам с решением
Задача 1. Под какой процент была вложена 4000 рублей, если через 8 лет сумма наращенного капитала составила 7000 рублей.
I = S – p = 7000 – 4000 = 3000 руб.
i = 100*I/(P*n) = 100*3000/(4000*8) = 9,4%
Сумма была положена под i = 9,4%
Задача 2. Определить сумму наращенного капитала на 1 ноября, если клиент положил на депозитный счет 3 мая 15000 рублей под 15% годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 4%. Расчеты ведутся по французской методике расчета процентов.
d1 = с 3 мая по 2 августа = 91 день
d2 = со 2 августа по 1 ноября = 91 день
k = 360 дней (французская методика)
I1 = P1* i1*d1/(k*100) = 15000*15*91/(100*360) = 568,75 руб.
S1= P1+I1 = 15000 + 568,75 = 15568,75 руб.
I2 = P2* i2*d2/(k*100) = 15568,75*19*91/(100*360) = 747,735 руб.
S2 = P2+I2 = 15568,75 + 747,735 = 16316,485 руб.
Сумма наращенного капитала на 1 ноября составляет 16316,485 руб.
Задачи на простые и сложные %
1. На какой срок необходимо вложить 5000 рублей при 30% годовых, чтобы сумма дохода составила 560 рублей?
Ответ: 5000 руб. надо положить на 136 дней, чтобы получить доход в 560 руб. при 30% годовых
Клиент положил в банк депозит в размере 25 000 руб. 15 апреля. 19 июня клиент снял со счета 8 000 руб. Определить ставку банка повкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 1000 руб. Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.
Р = 25000- 8000=17000 руб.
1000 = (17000* i *261)/100*365;
4437000* i = 36500000
Ответ: ставка банка по вкладу равна 8,2%
Задача 5. На какой срок необходимо вложить 15 000 рублей при 9 % годовых, чтобы сумма дохода составила 2 000 рублей?
Для решения задачи воспользуемся формулой
i — процентная ставка;
n – срок в годах.
Из формулы получаем, что n = I*100% / P*i
n = 2 000 * 100 % / 15 000 * 9 % = 1,481 лет
Ответ: нужно вложить на 1, 481 лет.
Задача 6. Клиент положил в банк депозит в размере 45 000 руб. 15 мая. 30 июля клиент снял со счета 7 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 января по депозиту клиента составил 6 000 руб.
Расчеты ведутся по английской методике расчета процентов.
Для решения задачи воспользуемся формулой
i — процентная ставка;
d – срок в днях, на который положили деньги;
K — база измерения времени или продолжительность года в днях.
Английская практика (в России) – 365 дней.
Из формулы получаем, что i = I * 100% * K / P * d
P = 45 000 – 7 000 = 38 000 рублей
d = (31-15) +30+31+31+30+31+30+31+1 = 231
i = 6 000 * 100 % * 365 / 38 000 * 231 = 24,95 %
Ответ: ставка банка по вкладу 24,95 %.
Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.
1) Процентный платеж или доход кредитора:
I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.
S – сумма наращенного капитала
P — первоначальный капитал
2) Процентную ставку:
n- время, выраженное в годах
Ответ: процентная ставка равна 66% годовых.
Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Согласно немецкой методике год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней.
1) Количество дней, в течении которых вклад лежал под 15 % годовых:
Август – 11 дней
d = 128 дней – время пользованию ссудой
2) Количество дней, в течении вклад лежал под 17 % годовых:
Август – 19 дней
Сентябрь – 30 дней
Октябрь – 12 дней
d = 61 день – время пользованию ссудой
3) Доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой:
I = P* i*d/(k*100) = [20000*15+128/(100*360)] +[20000*17+61/(100*360)] = 1642,78 руб.
Р – первоначальный капитал
i – процентная ставка
d – количество дней
4) Сумма наращенного капитала:
S = P + I = 20000 + 1642,78 = 21642,78 руб.
Ответ: наращенный капитал равен 21642,78 руб.
Среднемесячная заработная плата за вычетом налогов на предприятии составила: в базисном периоде 1 1548 руб., в отчётном- 14005 руб., цены на потребительские товары и услуги повысились в отчётном периоде па 17,5%. Доля налогов в заработной плате в базисном периоде составляла 13%, в отчётном — 15%. Определите: 1 .Индекс покупательной способности денег.
2.Индекс номинальной и реальной заработной платы.
Имеются следующие данные о составе и использовании денежных доходов населения РФ в текущих ценах, млрд руб.:*
* Россия в цифрах. 2008: Стат. сб. — М.: Росстат, 2008. С. 120.
Показатель 2006 г. 2007 г.
-доходы от предпринимательской деятельности 1915,1 2118,3
-оплата труда 11237,0 14940,0
-социальные выплаты 2080,4 2317,8
-доходы от собственности 1720,6 1423,1
-другие доходы 336,8 424,3
Денежные расходы и сбережения:
-покупка товаров и оплата услуг 11927,5 14792,4
-обязательные платежи и разнообразные взносы 1813,0 2661,0
-приобретение недвижимости 572,3 690,5
-прирост финансовых активов
Определить за каждый год:
1.Номинальные и располагаемые денежные доходы населения в текущих ценах.
2. Прирост финансовых активов.
3. Структуру денежных доходов и расходов населения.
4. Изменение структуры денежных доходов населения с помощью обобщающих показателей
Больший капитал вложен на 6 месяцев при ставке 5%, а меньший на 3 месяца при ставке 6%. Разница между двумя капиталами 1000 рублей. Найти величину капиталов, если известно, что процентный платеж по первому капиталу равен двойному процентному платежу за второй капитал.
Задача на простые проценты.
Сравнить доход по различным вкладам:
1 – 5000 рублей с 1 мая по 10 ноября по 15 % годовых (английская практика расчета процентов)
2 – 4000 рублей с 5 апреля по 28 августа под 20% годовых (немецкая практика расчета процентов).
Задача на простые проценты.
По английской практике расчета процентов в году 365 дней и в месяце число дней соответствует календарю. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 30+30+31+31+30+31+10=193;
I1=(P1*i1*d1) / (K1*100)=5000*15*193/(365*100)=396,58 руб.
По немецкой практике расчета процентов в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце. Значит, доход по первому вкладу нужно рассчитывать на следующее количество дней: 25+30+30+30+28=143
I2=(P2*i2*d2) / (K2*100)=4000*20*143/(360*100)=317,78 руб.
Следовательно, доход по первому вкладу больше, чем по второму на 78,8 рублей.
Капитал величиной 15 000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.
Решение задачи на простые проценты:
Будем решать данную задачу с использованием методики простых процентов.
Определим доход от вклада 15 000руб, положенных в банк на 3 месяца:
I=P*i*m/ (12*100) = 15000*6*3/ (12*100)=225 руб.
Сумма наращенного капитала
Задача 14
Клиент положил в банк депозит в размере 20 000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 15 000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 11 000 руб. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
При определении числа дней ссуды по немецкой методике расчета процентов год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. Учитывая это, посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 20 000 рублей:
август – 10 дней.
Определим доход от депозитного вклада суммы 20 000 рублей на срок 85 дней:
I=(P*i*d) / (K*100)=20000*85*i/(360*100)=47,22 i.
После того, как клиент 10 августа снял со счета 15 000 рублей, сумма депозита составила 5 000 рублей. Посчитаем сколько дней составит время депозита в размере 5 000 рублей
август – 20 дней;
сентябрь – 30 дней;
октябрь – 30 дней;
ноябрь – 30 дней
декабрь – 30 дней
Тогда, I2=(P2*i*d2) / (K*100)=5000*170*i/(365*100)=23,288 i.
Определим суммарный доход от депозитного вклада:
I=I1+I2=47,22 i.+23,288 I = 70,51* i = 11000;
При заданных условиях ставка банка по вкладу составила 156%.
Под какой процент была вложена 5000 рублей, если через пять лет сумма наращенного капитала составила 3600 рублей.
По условию, была вложена сумма P=5000 рублей.
Сумма наращенного капитала I=3600 рублей.
i=3600/(5000*5)=0,144, т.е. 14,4%
Ответ: процент составляет 14,4%.
Определить сумму наращенного капитала на 1 октября, если клиент положил на депозитный счёт 3 апреля 20000 рублей под 15 % годовых, а 2 августа ставка увеличилась на 2 процента. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
По условию, была вложена сумма P=20000 рублей.
Размер процента составлял 15% с 3-го апреля по 2 августа и 15+2=17% -со второго августа до 1 октября.
Разобьём это время на два периода:
d1=27+30+30+30+2=119-первый период по немецкой системе
d2=28+30+1=59-второй период по немецкой системе
I=I1+I2-наращеный капитал за два периода.
k – база дней по немецкой системе.
Ответ: сумма наращенного капитала I=1548,99 рублей.
Капитал величиной 40000 рублей вложен в банк на 3 месяца под 6% годовых. Найти сумму наращенного капитала.
Клиент положил в банк депозит в размере 50000 руб. 15 мая. 10 августа клиент снял со счета 25000 руб. Определить ставку банка по вкладу, если суммарный доход на 1 февраля по депозиту клиента составил 5000 руб. Ресчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов. I=I1+I2; Составим уравнение, решив которое получим: i = 31.5121%
Ответ: i = 31.5121%
Под какой процент была вложена 1000 рублей, если через 7 лет сумма наращенного капитала составила 5600 рублей.
I = S — P = 5600 – 1000=4600 руб.
S — наращенный капитал
P — первоначальный капитал
Теперь определим процентную ставку:
Ответ: процентная ставка равна 15,71% годовых.
Определить сумму наращенного капитала на 12 октября, если клиент положил на депозитный счет 3 апреля 20 000 рублей под 15% годовых, а 12 августа ставка увеличилась на 2%. Расчеты ведутся по немецкой методике расчета процентов.
Немецкая методика: год условно принимается за 360 дней, а месяц – 30 дней. При определении числа дней ссуды по календарю в России первый и последний дни не учитываются.
Сосчитаем количество дней, при которых вклад лежал под 15 % годовых:
Август – 11 день
Сумма – 128 дней
И количество дней, при которых вклад лежал под 17 % годовых:
Август – 19 дней
Сентябрь – 30 дней
Октябрь – 11 день
I=P*i*d/(100*360)=[20000*15*128/36000 ]+ [20000*17*60/36000 ] = 1633,33.
I = 1633,33 рубля, где
Р – сумма вклада
i – процентная ставка
d – количество дней
S = P + I = 20000 + 1633,33 = 2163,33 рубля.
Ответ: наращенный капитал равен 2163,33 рубля.
1. Задача на расчет денежной массы с решением
В конце 2013 года объем денежной массы в России составил 28629 млрд рублей.
В начале 2014 года Центробанк осуществил эмиссию денег в размере 5 млрд рублей, а также принял решение установить (НР) норму обязательных резервов в 10%. Определите объем денежной массы в России после эмиссии.
Источник: studfile.net