Индивидуальному предпринимателю 15 марта был выдан кредит на приобретение оборудования. В нижеследующей таблице указан график его погашения. Текущий долг указывается в процентах:
| Дата | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 | 15.08 | 15.09 |
| Текущий долг | 100% | 80% | 65% | 45% | 30% | 20% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с марта, банк увеличивает текущий долг на 5% . После этого в первой половине последующего месяца вкладчик обязан внести в банк такую сумму, чтобы оставшийся долг стал равным указанному в таблице текущему долгу на 15 число этого месяца. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Показать решение
Решение
Обозначим через K сумму выданного кредита, а через x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 и x_6 — выплаты по кредиту в апреле, мае, июне, июле, августе и сентябре. Тогда по условию на конец марта текущий долг будет равен 1,05cdot K. После уплаты суммы x_1 он станет равным 1,05cdot K-x_1 и будет равен 80% от K , то есть 0,8cdot K. Составляем первое уравнение: 1,05cdot K-x_1=0,8cdot K.
Далее этот текущий долг опять увеличивается на 5% , и опять уплачивается сумма x_2, после чего останется 65% от K . Получаем второе уравнение:
1,05cdot 0,8cdot K-x_2=0,65cdot K.
Последующие уравнения будут иметь вид:
1,05cdot 0,65cdot K-x_3=0,45cdot K;
1,05cdot 0,45cdot K-x_4=0,3cdot K;
1,05cdot 0,3cdot K-x_5=0,2cdot K;
1,05cdot 0,2cdot K-x_6=0.
Складывая полученные уравнения, имеем:
1,05K,cdot (1+0,8+0,65+0,45+0,3+0,2),,- (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)= Kcdot (0,8+0,65+0,45+0,3+0,2).
Отсюда x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 +x_6= Kcdot (1,05+0,05cdot (0,8+0,65+0,45+0,3+0,2))= Kcdot (1,05+0,05cdot 2,4)= Kcdot (1,05+0,12)= Kcdot 1,17.
Получаем, что сумма всех выплат больше суммы кредита на 0,1 7 K , то есть на 17% от K .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Источник: egeguru.com
Школьный помощник «Математик»
1. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
2. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 204%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
3. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 36 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
4. Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси.
2. Экономические задачи
Формула сложных процентов.
Если на вклад положена сумма а денежных единиц, банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит
Рассмотри задачу №5.
Клиент взял в банке кредит 18000 рублей на год под 14%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить ежемесячно?
Сумма долга за 1 год составит 18000*1,14=20520 рублей
в месяц он должен вносить 20520/12=1710 (рублей)
Ответ: 1710 рублей
Рассмотрим задачу №6:
Заем в размере 64 тыс рублей был выдан на три года под 25% годовых. Если отдать заем одним платежом, каков размер этого платежа?
Через год долг составит 64000*(1+0,15), через 2 года 64000*(1+0,25)^2,
через три года 64000*(1+0,25)^3=64000*(5/4)^3=125000 (рублей)
Ответ: 125000 рублей.
Рассмотри задачу №7:
Решите самостоятельно задачу №8
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
| 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Решите задачу №9
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Решите задачу №10
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
Источник: mathlabirint.blogspot.com
